Математический анализ Примеры

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Этап 4

Развернем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.5

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.7

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.8

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.9

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.10

Умножим $1$ на $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

Этап 4.11

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$