Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.2.1.3

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{5 - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + 0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Этап 3.2

Внесем предел под знак радикала.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + 7}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Этап 3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Этап 3.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$10 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Этап 5.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$10 + \sqrt{25 + 7}$

Этап 5.3

Добавим $25$ и $7$ .

$10 + \sqrt{32}$

Этап 5.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$10 + \sqrt{16 (2)}$

Этап 5.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$10 + \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 5.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$10 + 4 \sqrt{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$10 + 4 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$15.65685424 \dots$