Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.8

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

Этап 1.5.2.2

Добавим $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ и $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6}{x^{4}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.8

Умножим $- 4$ на $6$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

Этап 2.5.2.3

Добавим $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ и $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{24}{x^{5}}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Этап 3.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Этап 3.3.7

Умножим $x^{- 10}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Этап 3.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

Этап 3.3.7.3

Вычтем $10$ из $4$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

Этап 3.3.8

Умножим $- 5$ на $- 24$ .

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 3.4.2

Объединим $120$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{2}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{120}{x^{6}}$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{6}}$ в виде ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6}$ .

$120 x + 120 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 4.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$120 x + 120 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6}$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Этап 4.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 x + 120 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Этап 4.3.5.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$120 x + 120 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Этап 4.3.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Этап 4.3.7

Умножим $x^{- 12}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перенесем $x^{5}$ .

$120 x + 120 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Этап 4.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$120 x + 120 (- 6 x^{5 - 12})$

Этап 4.3.7.3

Вычтем $12$ из $5$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 7})$

Этап 4.3.8

Умножим $- 6$ на $120$ .

$120 x - 720 x^{- 7}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 x - 720 \frac{1}{x^{7}}$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $- 720$ и $\frac{1}{x^{7}}$ .

$120 x + \frac{- 720}{x^{7}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = 120 x - \frac{720}{x^{7}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $120 x - \frac{720}{x^{7}}$ .

$120 x - \frac{720}{x^{7}}$