Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| x |) + C - 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 9.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$