Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ в виде $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

Этап 6.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

Этап 6.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4 x^{2}} + C$