Математический анализ Примеры

$\int 2 (2^{x}) d x$

Этап 1

Умножим $2$ на $2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\int 2^{1} \cdot 2^{x} d x$

Этап 1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2^{1 + x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 2^{u} d u$

Этап 3

Интеграл $2^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$

Этап 4

Перепишем $\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$ в виде $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + x} + C$