Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{x (2 x^{2} + 3)}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{x (2 x^{2}) + x \cdot 3}$

Этап 1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Этап 1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x \cdot x^{2} + 3 \cdot x}$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 (x^{2} x) + 3 \cdot x}$

Этап 1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x}$

Этап 1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{2 + 1} + 3 \cdot x}$

Этап 1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{3} + 3 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{3} + 3 x}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3 x}{x^{3}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x^{3}}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 5.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 5.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Этап 7.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 + 3 \cdot 0}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Этап 7.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$