Математический анализ Примеры

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

Этап 3

Пусть $u = 5 x + 1$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 5 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Этап 4

Объединим $5^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Этап 6

Интеграл $5^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

Этап 7

Поскольку $- 15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 15$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $5^{u}$ на $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $5^{u}$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5^{u}$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \ln (5)$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 9.3.3

Объединим $- 15$ и $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $- 15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15 x^{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

Этап 9.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

Этап 9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Этап 9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

Этап 9.3.4.2.4

Разделим $- 3 x^{5}$ на $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

Этап 9.3.5

Чтобы записать $- 3 x^{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

Этап 9.3.6

Объединим $- 3 x^{5}$ и $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Этап 9.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$