Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x - 3 x^{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C$

Этап 8.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C$

Этап 8.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Этап 8.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C$

Этап 8.2.5.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} - x^{3} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $x^{2} - x^{3} + C$