Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} + 4 x^{3}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} + 4 x^{3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{8 - 1}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.5

Объединим $3$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.6

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.7

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.7.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$7 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.8

Возведем $2$ в степень $4$ .

$7 + 4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.9

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$7 + 4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.9.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$7 + 4 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$7 + 4 (4 - \frac{1}{4})$

Этап 8.2.3.11

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 8.2.3.12

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 8.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 + 4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Этап 8.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.14.1

Умножим $4$ на $4$ .

$7 + 4 \frac{16 - 1}{4}$

Этап 8.2.3.14.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$7 + 4 (\frac{15}{4})$

Этап 8.2.3.15

Объединим $4$ и $\frac{15}{4}$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Этап 8.2.3.16

Умножим $4$ на $15$ .

$7 + \frac{60}{4}$

Этап 8.2.3.17

Сократим общий множитель $60$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.17.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Этап 8.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 (1)}$

Этап 8.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$7 + \frac{15}{1}$

Этап 8.2.3.17.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$7 + 15$

Этап 8.2.3.18

Добавим $7$ и $15$ .

$22$

Этап 9