Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 x^{2} - 7}}{x + 2}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $25$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.6

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 2.7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Этап 4.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 7$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{25 + 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 6.1.2

Добавим $25$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{25}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 6.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{5}{1}$

Этап 6.3

Разделим $5$ на $1$ .

$5$