Математический анализ Примеры

$\int (x - 1) (x + a) d x$

Этап 1

Развернем $(x - 1) (x + a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (x + a) - 1 (x + a) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x a - 1 (x + a) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x a - 1 x - 1 a d x$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x + x a - 1 x - 1 a d x$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x a - 1 x - 1 a d x$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} + x a - 1 x - 1 a d x$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + x a - 1 x - 1 a d x$

Этап 1.8

Изменим порядок $- 1 x$ и $- 1 a$ .

$\int x^{2} + x a - 1 a - 1 x d x$

Этап 1.9

Перенесем $x a$ .

$\int x^{2} - 1 a + x a - 1 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 1 a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Этап 5.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - x d x$

Этап 6

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a \int x d x + \int - x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - x d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int x d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{x^{3}}{3} - a x + \frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{3} - a x + \frac{1}{2} a x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + C$