Математический анализ Примеры

$\int (x + 1) (x + a) d x$

Этап 1

Развернем $(x + 1) (x + a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (x + a) + 1 (x + a) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x a + 1 (x + a) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x a + 1 x + 1 a d x$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x + x a + 1 x + 1 a d x$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x a + 1 x + 1 a d x$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} + x a + 1 x + 1 a d x$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + x a + 1 x + 1 a d x$

Этап 1.8

Умножим $x$ на $1$ .

$\int x^{2} + x a + x + 1 a d x$

Этап 1.9

Умножим $a$ на $1$ .

$\int x^{2} + x a + x + a d x$

Этап 1.10

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$\int x^{2} + x a + a + x d x$

Этап 1.11

Перенесем $x a$ .

$\int x^{2} + a + x a + x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int a d x + \int x a d x + \int x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int a d x + \int x a d x + \int x d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + a x + C + \int x a d x + \int x d x$

Этап 5

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + a x + C + a \int x d x + \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + a x + C + a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + a x + \frac{1}{2} a x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$