Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 3 x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Этап 4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Этап 6.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Этап 7

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - 7 x d x$

Этап 9

Поскольку $- 7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 7$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 7 \int x d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - 7 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - 7 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 11.2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{2} + C$

Этап 11.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7 x^{2}}{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7}{2} x^{2} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7}{2} x^{2} + C$