Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{x}{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{4} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{4} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{x^{2}}{4} - x^{4} - (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - x^{4} - \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} x^{2} - x^{4} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - x^{4} - \frac{1}{5} x^{5} + C$