Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d x}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $\frac{3}{x y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d x}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $\frac{x}{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

Этап 1.1.2.2

Добавим $\frac{3}{x y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $- \frac{x}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

Этап 1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $\frac{x}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

Этап 1.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{- x^{2} + 3}{x}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

Этап 1.5.3

Умножим $\frac{1}{- x^{2} + 3}$ на $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $- x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Этап 1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - x^{2} + 3$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - x^{2} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $- x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$- 2 x$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ на $1$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

Этап 3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

Этап 3.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

Этап 3.4.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

Этап 3.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ .

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

Этап 3.7.2

Разделим каждый член $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ на $y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Разделим каждый член $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ на $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Этап 3.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Этап 3.7.2.2.1.2

Разделим $| - x^{2} + 3 |$ на $1$ .

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Этап 3.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Этап 3.7.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

Этап 3.7.5

Разделим каждый член $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Разделим каждый член $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.7.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.7.5.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.7.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.7.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ в виде $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.7.5.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

Этап 3.7.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$