Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $- 1$ вместо $x$ и $3$ вместо $f$ в $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ .

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ .

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Этап 4.2

Упростим $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Этап 4.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Этап 4.2.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

Этап 4.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3 + K = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$K = 3 + 3$

Этап 4.3.2

Добавим $3$ и $3$ .

$K = 6$

Этап 5

Подставим $6$ вместо $K$ в $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $6$ вместо $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$