Математический анализ Примеры

$(2 x + \frac{y}{x}) d x + (4 y + \ln (x)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x + \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + \frac{y}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x + \frac{y}{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y}{x}$ по $y$ равна $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $4 y + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.2

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y + \ln (x) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 4 y d y + \int \ln (x) d y$

Этап 5.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 4 \int y d y + \int \ln (x) d y$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \ln (x) d y$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (x) y + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (x) y + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.2.2

Поскольку $2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\ln (x) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.3.3

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x = \frac{y}{x}$

Этап 9.1.1.2

Вычтем $\frac{y}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x} = 0$

Этап 9.1.1.3

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.3.1

Вычтем $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x + 0 = 0$

Этап 9.1.1.3.2

Добавим $\frac{d g}{d x} - 2 x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Этап 9.1.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Этап 10

Найдем первообразную $2 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Этап 10.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 2 \int x d x$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Этап 10.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + y \ln (x) + x^{2} + C$