Математический анализ Примеры

$x^{2} d y - \frac{1}{2} y^{3} d x = 0$

Этап 1

Добавим $\frac{1}{2} y^{3} d x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} d y = \frac{1}{2} y^{3} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (\frac{1}{2} y^{3}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3})} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (\frac{1}{2} y^{3}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (\frac{1}{2} y^{3}) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (\frac{1}{2} y^{3}) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} y^{3}} y^{3} d x$

Этап 3.3

Объединим.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1 \cdot 1}{2 (x^{2} y^{3})} y^{3} d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $2 (x^{2} y^{3})$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (2 (x^{2}))} y^{3} d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (2 (x^{2}))} y^{3} d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1 \cdot 1}{2 (x^{2})} d x$

Этап 3.5

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $\frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 4.3.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2 x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{1}{2 x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 2 x, 1$

Этап 5.1.2

Так как $2 y^{2}, 2 x, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{2}, x^{1}$ .

Этап 5.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 5.1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.1.6

НОК $2, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 5.1.7

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 5.1.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.9

НОК $y^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y \cdot x$

Этап 5.1.10

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} x$

Этап 5.1.11

НОК $2 y^{2}, 2 x, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y^{2} x$

Этап 5.2

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{1}{2 x} + K$ умножим на $2 y^{2} x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{1}{2 x} + K$ на $2 y^{2} x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{1}{2 x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{1}{2 x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} x$ .

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (x)) = - \frac{1}{2 x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{1}{2 x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- x = - \frac{1}{2 x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 x}$ в числитель.

$- x = \frac{- 1}{2 x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 y^{2} x$ .

$- x = \frac{- 1}{2 x} (2 x (y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$- x = \frac{- 1}{2 x} (2 x y^{2}) + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- x = - y^{2} + K (2 y^{2} x)$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x = - y^{2} + 2 K y^{2} x$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $- y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$ .

$- y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2} + 2 K y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 + 2 K y^{2} x = - x$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 K y^{2} x$ .

$y^{2} \cdot - 1 + y^{2} (2 K x) = - x$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot - 1 + y^{2} (2 K x)$ .

$y^{2} (- 1 + 2 K x) = - x$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y^{2} (- 1 + 2 K x) = - x$ на $- 1 + 2 K x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y^{2} (- 1 + 2 K x) = - x$ на $- 1 + 2 K x$ .

$\frac{y^{2} (- 1 + 2 K x)}{- 1 + 2 K x} = \frac{- x}{- 1 + 2 K x}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 1 + 2 K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (- 1 + 2 K x)}{- 1 + 2 K x} = \frac{- x}{- 1 + 2 K x}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- x}{- 1 + 2 K x}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{- 1 + 2 K x}$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{- 1 (1) + 2 K x}$

Этап 5.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 K x$ .

$y^{2} = - \frac{x}{- 1 (1) - (- 2 K x)}$

Этап 5.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- 2 K x)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{- 1 (1 - 2 K x)}$

Этап 5.3.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - - \frac{x}{1 - 2 K x}$

Этап 5.3.3.3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x}{1 - 2 K x}$

Этап 5.3.3.3.5.3

Умножим $\frac{x}{1 - 2 K x}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{1 - 2 K x}$

Этап 5.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{1 - 2 K x}}$

Этап 5.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{1 - 2 K x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{x}{1 - 2 K x}}$ в виде $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - 2 K x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - 2 K x}}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - 2 K x}}$ на $\frac{\sqrt{1 - 2 K x}}{\sqrt{1 - 2 K x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - 2 K x}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 2 K x}}{\sqrt{1 - 2 K x}}$

Этап 5.3.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - 2 K x}}$ на $\frac{\sqrt{1 - 2 K x}}{\sqrt{1 - 2 K x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{\sqrt{1 - 2 K x} \sqrt{1 - 2 K x}}$

Этап 5.3.5.3.2

Возведем $\sqrt{1 - 2 K x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{\sqrt{1 - 2 K x}}^{1} \sqrt{1 - 2 K x}}$

Этап 5.3.5.3.3

Возведем $\sqrt{1 - 2 K x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{\sqrt{1 - 2 K x}}^{1} {\sqrt{1 - 2 K x}}^{1}}$

Этап 5.3.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{\sqrt{1 - 2 K x}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{\sqrt{1 - 2 K x}}^{2}}$

Этап 5.3.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 - 2 K x}}^{2}$ в виде $1 - 2 K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 2 K x}$ в виде ${(1 - 2 K x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{({(1 - 2 K x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{(1 - 2 K x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{(1 - 2 K x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{(1 - 2 K x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{{(1 - 2 K x)}^{1}}$

Этап 5.3.5.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - 2 K x}}{1 - 2 K x}$

Этап 5.3.5.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

Этап 5.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

Этап 5.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

Этап 5.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 - 2 K x)}}{1 - 2 K x}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + K x)}}{1 + K x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + K x)}}{1 + K x}$