Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = - 6 x + 4 x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x + 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 4 x y$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x y$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 2 x (2 y)$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 3) + 2 x (2 y)$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3 + 2 y)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} (2 x (- 3 + 2 y))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \frac{1}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Этап 1.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 (- 3 + 2 y)$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \cdot - 3 + 2 (2 y)$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 2 (2 y)$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 4 y$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x} d x = (- 6 + 4 y) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - 6 + 4 y d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 + 4 y d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 d t + \int 4 y d t$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + \int 4 y d t$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + 4 y t + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + 4 y t + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$\ln (| x |) + C_{1} = 4 t y - 6 t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x |)} = e^{4 t y - 6 t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 t y - 6 t + C} = | x |$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$ .

$| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{4 t y - 6 t + C}$ в виде $e^{4 t y - 6 t} e^{C}$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{4 t y - 6 t}$ и $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{4 t y - 6 t}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$x = C e^{4 t y - 6 t}$