Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 3 y)}{2 x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{(x + 3 y)}{2 x}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{3 y}{2 x}$

Этап 1.1.2

Вычтем $\frac{3 y}{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $- \frac{3}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{3}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{3}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.4

Упростим.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- \frac{3}{2}})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{3}{2 x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{3 y}{2 x}$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Перенесем $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.4.2.2

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.4.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.2.4.2.5

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Этап 3.3

Объединим.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} (2 x)}$

Этап 3.4

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.4.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.4.5

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.6

Перенесем $x^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

Этап 3.7

Умножим $x^{\frac{5}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.7.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.7.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.7.6.2

Добавим $- 2$ и $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.8

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем $x^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 7.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 7.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

Этап 7.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 7.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 7.4.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = C$

Этап 8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} - C = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Разделим $2$ на $2$ .

$y = - 1 x^{1} + C x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Упростим.

$y = - 1 x + C x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x + C x^{\frac{3}{2}}$