Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d θ} = \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)) d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 2.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{θ}$ в виде $θ^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int θ^{\frac{1}{2}} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $θ^{\frac{1}{2}}$ по $θ$ имеет вид $\frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $\tan (θ)$ равна $\sec^{2} (θ)$ , интеграл $\sec^{2} (θ)$ равен $\tan (θ)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (\tan (θ) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + K$