Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $x$ и $7$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ .

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Этап 4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Этап 4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

Этап 4.2.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$6 + K = 7$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$K = 7 - 6$

Этап 4.3.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$K = 1$

Этап 5

Подставим $1$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$