Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (π x) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{π \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} \int \sin (u) d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u) + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u)) + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Объединим $\frac{3}{2 π}$ и $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (u)}{2 π} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + C_{2}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\cos (π x)$ и $\frac{3}{2 π}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\cos (π x) \cdot 3}{2 π} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $\cos (π x)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}$ в числитель.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 (π)} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{- 3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$