Математический анализ Примеры

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 y d x$ из обеих частей уравнения.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{- 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $e^{- 3 x}$ из $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Этап 3.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Этап 4.3.3.2

Поменяем знак экспоненты $e^{- 3 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Этап 4.3.3.3.2

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.3.4.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.3.4.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 4.3.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Этап 5.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Этап 5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Этап 5.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $e^{3 x}$ и $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Этап 5.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Этап 5.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ в виде $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Этап 6.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$