Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - x y^{3} = 0$ ; ; , $y (2) = 4$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $x y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 2, 1$

Этап 3.2.2

Так как $2 y^{2}, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{2}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК $2, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.7

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $y^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 3.2.9

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2}$

Этап 3.2.10

НОК $2 y^{2}, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ умножим на $2 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ на $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ на $x^{2} + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ на $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(2, 4)$ , рассмотрим $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $2$ вместо $x$ , а $4$ вместо $y$ .

$4 = \sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$ .

$\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}}^{2} = 4^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$ в виде ${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{1} = 4^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(- \frac{1}{4 + K})}^{1} = 4^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Упростим.

$- \frac{1}{4 + K} = 4^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4 + K} = 16$

Этап 6.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 + K, 1$

Этап 6.4.1.2

Избавимся от скобок.

$4 + K, 1$

Этап 6.4.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 + K$

Этап 6.4.2

Каждый член в $- \frac{1}{4 + K} = 16$ умножим на $4 + K$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{4 + K} = 16$ на $4 + K$ .

$- \frac{1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4 + K}$ в числитель.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Этап 6.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Этап 6.4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = 16 (4 + K)$

Этап 6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = 16 \cdot 4 + 16 K$

Этап 6.4.2.3.2

Умножим $16$ на $4$ .

$- 1 = 64 + 16 K$

Этап 6.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перепишем уравнение в виде $64 + 16 K = - 1$ .

$64 + 16 K = - 1$

Этап 6.4.3.2

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$16 K = - 1 - 64$

Этап 6.4.3.2.2

Вычтем $64$ из $- 1$ .

$16 K = - 65$

Этап 6.4.3.3

Разделим каждый член $16 K = - 65$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Разделим каждый член $16 K = - 65$ на $16$ .

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Этап 6.4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Этап 6.4.3.3.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{- 65}{16}$

Этап 6.4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{65}{16}$

Этап 7

Подставим $- \frac{65}{16}$ вместо $K$ в $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- \frac{65}{16}$ вместо $K$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - \frac{65}{16}}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} \cdot \frac{16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Этап 7.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16 - 65}{16}}}$

Этап 7.2.4

Перенесем $16$ влево от $x^{2}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{16 x^{2} - 65}{16}}}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \sqrt{- (1 \frac{16}{16 x^{2} - 65})}$

Этап 7.4

Умножим $\frac{16}{16 x^{2} - 65}$ на $1$ .

$y = \sqrt{- \frac{16}{16 x^{2} - 65}}$