Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$ , когда $y (3) = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 3$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | x |$ .

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

Этап 3.5.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | x | e^{C}$ .

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

Этап 3.5.4.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C | x | - 3$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x | - 3$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $3$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = C | x | - 3$ .

$3 = C | 3 | - 3$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C | 3 | - 3 = 3$ .

$C | 3 | - 3 = 3$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$C \cdot 3 - 3 = 3$

Этап 6.2.2

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$3 C - 3 = 3$

Этап 6.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3 C = 3 + 3$

Этап 6.3.2

Добавим $3$ и $3$ .

$3 C = 6$

Этап 6.4

Разделим каждый член $3 C = 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $3 C = 6$ на $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Этап 6.4.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{6}{3}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$C = 2$

Этап 7

Подставим $2$ вместо $C$ в $y = C | x | - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $2$ вместо $C$ .

$y = 2 | x | - 3$