Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 6$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = \frac{6}{x^{2}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{2 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Этап 3.3

Объединим.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2} x^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2 + 2}}$

Этап 3.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{4}}$

Этап 3.5

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{6}{x^{4}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{6}{x^{4}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{- 4} d x$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Этап 7.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Этап 7.4.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Этап 7.4.2

Упростим.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Этап 7.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - 6 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 7.4.3.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 6}{3 x^{3}} + C$

Этап 7.4.3.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Этап 7.4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{3})} + C$

Этап 7.4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Этап 7.4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 2}{x^{3}} + C$

Этап 7.4.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $\frac{2}{x^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} = C$

Этап 8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $\frac{2}{x^{3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{2}{x^{3}}$

Этап 8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{3}}$ в числитель.

$y = \frac{- 2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 2}{x} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2}{x} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.3.2

Изменим порядок $- \frac{2}{x}$ и $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - \frac{2}{x}$