Математический анализ Примеры

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$x e^{- t} d x = t d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $e^{- t}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $e^{- t}$ из-под знака интеграла.

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ в виде $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ .

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $e^{- t}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Этап 2.2.3.2.2

Объединим $\frac{e^{- t}}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ на $\frac{1}{2} e^{- t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ на $\frac{1}{2} e^{- t}$ .

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $e^{- t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.3.1.3

Умножим $t y \frac{2}{e^{- t}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.3.1

Объединим $t$ и $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.3.1.3.2

Объединим $y$ и $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.3.1.4

Перенесем $2$ влево от $y t$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Этап 3.1.3.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

Этап 3.1.3.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

Этап 3.1.3.1.7

Объединим $K$ и $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

Этап 3.1.3.1.8

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y t + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y t$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (y t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

Этап 3.3.3

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Этап 3.3.4

Умножим $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ на $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Этап 3.3.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ на $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

Этап 3.3.5.2

Возведем $\sqrt{e^{- t}}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

Этап 3.3.5.3

Возведем $\sqrt{e^{- t}}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

Этап 3.3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

Этап 3.3.5.6

Перепишем ${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ в виде $e^{- t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e^{- t}}$ в виде $e^{\frac{- t}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.5.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.5.6.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.5.6.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

Этап 3.3.5.6.5

Объединим $- 2$ и $\frac{t}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

Этап 3.3.5.6.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.6.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

Этап 3.3.5.6.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.6.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

Этап 3.3.5.6.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

Этап 3.3.5.6.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

Этап 3.3.5.6.6.2.4

Разделим $- t$ на $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

Этап 3.3.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

Этап 3.3.7

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$