Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - 5 x^{2} + 2 = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $5 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + 2 = 5 x^{2}$

Этап 1.1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} - 2$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (5 x^{2} - 2) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 5 x^{2} - 2 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} - 2 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int - 2 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int - 2 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 2 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 2 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 2 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{5 x^{3}}{3} - 2 x + C_{4}$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} - 2 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{5}{3} x^{3} - 2 x + K$