Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим $\frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы записать $\frac{d y}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y + 1) x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Объединим $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2})}{(y + 1) x^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.1.2.2

Изменим порядок множителей в $(y + 1) x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2})}{x^{2} (y + 1)} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2}) + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot 1) x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.1.4.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x}) x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5

Изменим порядок множителей в $\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Этап 1.1.2

Приравняем числитель к нулю.

$\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + y {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.1.3

Решим уравнение относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычтем $y {(x - 1)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} = - y {(x - 1)}^{2}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} x^{2}$ из $\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} x^{2}$ из $\frac{d y}{d x} y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} = - y {(x - 1)}^{2}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} x^{2}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} \cdot 1 = - y {(x - 1)}^{2}$

Этап 1.1.3.2.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} x^{2}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$

Этап 1.1.3.3

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$ на $x^{2} (y + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$ на $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1)}{x^{2} (y + 1)} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Этап 1.1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1)}{x^{2} (y + 1)} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Этап 1.1.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y + 1)}{y + 1} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y + 1)}{y + 1} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Этап 1.1.3.3.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Этап 1.1.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} (- \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}})$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{y}{y + 1}$ на $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y + 1}{y}$ в числитель.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Этап 1.4.3.3

Вынесем множитель $y + 1$ из $(y + 1) x^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) (x^{2})}$

Этап 1.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Этап 1.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y ({(x - 1)}^{2})}{x^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y + 1}{y} d y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.3.3.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {u_{1}}^{2} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Этап 2.3.4

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 2.3.4.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 2.3.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(u_{2} - 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 2.3.5.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Этап 2.3.6.2

Объединим $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2}$ и ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Этап 2.3.6.3

Перенесем ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Этап 2.3.6.4

Перепишем ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

Этап 2.3.8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 2.3.8.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Этап 2.3.8.3

Вынесем ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Этап 2.3.8.4

Перемножим экспоненты в ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Этап 2.3.8.4.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.4.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.8.4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.8.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Перепишем ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ в виде $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.8

Изменим порядок ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ и $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.11

Добавим $1$ и $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.12.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.3.9.12.2

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.13

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.14

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

Этап 2.3.9.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.16

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.18

Вычтем $3$ из $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.19

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.22

Вычтем $3$ из $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.23

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.23.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.23.2.2

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.23.2.3

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.23.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.24

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.27

Вычтем $3$ из $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.28

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.28.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.28.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.28.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.28.2.2

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.28.2.3

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.28.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.29

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.30

Умножим ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ на $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.31

Вычтем ${u_{3}}^{- 1}$ из $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.9.32

Изменим порядок ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ и $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 2.3.11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 2.3.12

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 2.3.13

Интеграл ${u_{3}}^{- 1}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 2.3.14

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 2.3.15

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C_{6})$

Этап 2.3.16

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на ${u_{2}}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.17.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1

Объединим противоположные члены в $- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.1.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.1.4

Добавим $x$ и $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.1.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.1.6

Добавим $x$ и $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.2.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.3

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.2.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.2.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.2.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.2.4.2

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.4.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (x^{2})$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.1.3

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.1.4

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - - \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = 1 \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.3

Умножим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.4.3

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.4.4

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.4.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.5.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x}$ в числитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.5.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.5.4

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C_{7}$

Этап 2.3.18.4.5.5

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{- 1}{x} + C_{7}$

Этап 2.3.18.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - - \frac{1}{x} + C_{7}$

Этап 2.3.18.5.2

Умножим $- - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + 1 \frac{1}{x} + C_{7}$

Этап 2.3.18.5.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{1}{x} + C_{7}$

Этап 2.3.19

Изменим порядок членов.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C_{7}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y + \ln (| y |) = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C$