Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Этап 1.3.2

Объединим $7$ и $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Этап 1.3.3

Объединим $x$ и $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

Этап 1.3.4

Объединим.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $\ln^{8} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Этап 1.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Этап 1.3.6.2

Разделим $7 (x)$ на $1$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Тогда $d u = \frac{1}{y} d y$ , следовательно $y d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 2.2.1.1.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $u^{8}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (y)$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $\ln^{9} (y)$ .

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $9 \frac{7 x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $9$ и $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $7$ на $9$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

Этап 3.3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Этап 3.3.3

Перепишем $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

Этап 3.3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Этап 3.3.4.2

Упростим $e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $9$ из $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $\frac{63 x^{2}}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Этап 3.3.4.2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

Этап 3.3.4.2.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

Этап 3.3.4.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.3.1

Объединим $K$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

Этап 3.3.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

Этап 3.3.4.2.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

Этап 3.3.4.2.5

Объединим $9$ и $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

Этап 3.3.4.2.6

Перепишем $\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ .

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$