Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

Этап 1

Добавим $x y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int x d x}$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Тогда $d u = x d x$ , следовательно $\frac{1}{x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 7.1.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Этап 7.1.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Этап 7.1.1.4.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Этап 7.1.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2}$

Этап 7.1.1.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

Этап 7.2

Перепишем ${\sqrt{2 u}}^{2}$ в виде $2 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 u}$ в виде ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

Этап 7.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Этап 7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

Этап 7.2.5

Упростим.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

Этап 7.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

Этап 7.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 7.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 7.6

Упростим.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Этап 7.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Этап 7.8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Этап 7.8.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Этап 7.8.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Этап 7.9

Изменим порядок членов.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ на $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ на $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ и $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ из $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.1.2.4

Разделим $x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ на $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $0$ .

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.4

Разделим $0$ на $2$ .

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.7

Сократим общий множитель $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ и $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.1

Вынесем множитель $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ из $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.2.1

Умножим на $1$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.7.2.4

Разделим $- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ на $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.8.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.8.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.8.2.2

Перепишем это выражение.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.8.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.9

Умножим $x^{2}$ на $0$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.10

Разделим $0$ на $2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.11

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.3.1.12

Умножим $- 2$ на $1$ .

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$