Математический анализ Примеры

$\frac{\arcsin (x)}{y} d x + (1 - e^{y}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $\frac{\arcsin (x)}{y} d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 - e^{y}) d y = - \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $y$ .

$y (1 - e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(y \cdot 1 + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Этап 3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$(y + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(y - y e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(y - y e^{y}) d y = - y \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$(y - y e^{y}) d y = - \arcsin (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Этап 4.2.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - \int e^{y} d y) = \int - \arcsin (x) d x$

Этап 4.2.5

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - (e^{y} + C_{2})) = \int - \arcsin (x) d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = \int - \arcsin (x) d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - \int \arcsin (x) d x$

Этап 4.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arcsin (x)$ и $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Этап 4.3.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Этап 4.3.4

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 4.3.4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 4.3.4.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u)$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u)$

Этап 4.3.5.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Этап 4.3.5.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 4.3.7.2

Умножим $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 4.3.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 4.3.9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Этап 4.3.9.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Этап 4.3.9.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Этап 4.3.9.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Этап 4.3.9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 4.3.10

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$

Этап 4.3.11

Перепишем $- (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$ в виде $- (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Этап 4.3.12

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Этап 4.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 4.3.13.2

Изменим порядок множителей в $- \arcsin (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$