Математический анализ Примеры

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 5 \cdot \frac{1}{t}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 5 \cdot \frac{1}{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 5 \ln (| t |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 5 \ln (| t |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 5 \ln (| t |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 5 \ln (| t |)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| t |}^{5}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${| t |}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {| t |}^{5}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y | = {| t |}^{5} e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm {| t |}^{5} C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C {| t |}^{5}$