Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y - 3$ .

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Этап 3.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

Этап 3.2.3

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

Этап 3.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Этап 3.3.3

Перенесем $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Этап 3.3.4

Перенесем $- 2 x$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Этап 3.3.5

Изменим порядок $y^{2}$ и $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.4

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Перепишем $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ в виде $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(0, 4)$ , рассмотрим $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $4$ вместо $y$ .

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ .

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

Этап 6.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

Этап 6.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

Этап 6.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ в виде ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Объединим противоположные члены в $9 + 0 + K + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1.1

Добавим $9$ и $0$ .

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.3.1.2

Добавим $9 + K$ и $0$ .

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.4.2.1.3.2

Упростим.

$9 + K = 1^{2}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$9 + K = 1$

Этап 6.5

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$K = 1 - 9$

Этап 6.5.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$K = - 8$

Этап 7

Подставим $- 8$ вместо $K$ в $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- 8$ вместо $K$ .

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $8$ из $9$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

Этап 7.2.2

Изменим порядок членов.

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$