Математический анализ Примеры

$\frac{d C}{d x} = \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d C = \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d C = \int \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Этап 2.2

Перепишем.

$C = \int \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $14$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $14$ из-под знака интеграла.

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 14 x + 3$ . Тогда $d u = 14 d x$ , следовательно $\frac{1}{14} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 14 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $14 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [14 x + 3]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $14 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $14$ на $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$14 + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $14$ и $0$ .

$14$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{14} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ на $\frac{1}{14}$ .

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 14} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $14$ влево от $\sqrt[3]{u}$ .

$C = 14 \int \frac{1}{14 \sqrt[3]{u}} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{14}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{14}$ из-под знака интеграла.

$C = 14 (\frac{1}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $\frac{1}{14}$ и $14$ .

$C = \frac{14}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$C = \frac{14}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$C = 1 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.3

Умножим $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$ на $1$ .

$C = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 2.3.5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$C = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$C = \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C = \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$C = \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 2.3.5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$C = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $14 x + 3$ .

$C = \frac{3}{2} {(14 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$C = \frac{3}{2} {(14 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + K$