Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{2 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 7.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 7.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \arctan (x) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \arctan (x) + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(\arctan (x) + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \arctan (x) x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в $\arctan (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} \arctan (x) + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2.2

Изменим порядок $x^{2} \arctan (x)$ и $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} \arctan (x)$