Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \cos (x)$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \sin (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \sin (x) + K$ .

$1 = \sin (0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (0) + K = 1$ .

$\sin (0) + K = 1$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\sin (0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + K = 1$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 1$

Этап 5

Подставим $1$ вместо $K$ в $y = \sin (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $K$ .

$y = \sin (x) + 1$