Математический анализ Примеры

$(1 + 2 y) d x + (x - 4) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + 2 y) d x$ из обеих частей уравнения.

$(x - 4) d y = - (1 + 2 y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ .

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $1 + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ в числитель.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $1 + 2 y$ из $(x - 4) (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{x - 4} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + 2 y$ . Тогда $d u_{1} = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + 2 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Этап 4.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 4.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 4.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 4.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 4.2.1.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = x - 4$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = x - 4$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.3.2.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| x - 4 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \ln (| x - 4 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |)) + 2 C$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = - 2 \ln (| x - 4 |) + 2 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |) = 2 C$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x - 4 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({| x - 4 |}^{2}) = 2 C$

Этап 5.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x - 4 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({(x - 4)}^{2}) = 2 C$

Этап 5.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2})} = e^{2 C}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}$

Этап 5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ .

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$

Этап 5.7.2

Разделим каждый член $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ на ${(x - 4)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Разделим каждый член $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ на ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Сократим общий множитель ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.7.2.2.1.2

Разделим $| 1 + 2 y |$ на $1$ .

$| 1 + 2 y | = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.7.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$

Этап 5.7.5

Разделим каждый член $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Разделим каждый член $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 5.7.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 5.7.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 5.7.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 5.7.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$