Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{2} y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 4 x^{2} y)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 4 \frac{1}{y} (x^{2} y)$

Этап 1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y} (x^{2} y)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y} (y x^{2})$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y} (y x^{2})$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - 4 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 4 x^{2} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 4 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $- 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $- 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{4}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{4}{3} x^{3} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{4}{3} x^{3} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{4}{3} x^{3} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{4}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{4}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{3} \cdot 4}{3} + C}$

Этап 3.3.2.2

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{4 x^{3}}{3} + C}$ в виде $e^{- \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{4 x^{3}}{3}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{4 x^{3}}{3}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{4 x^{3}}{3}}$