Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ .

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Этап 4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Этап 4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

Этап 4.2.1.4

Умножим $\frac{1}{7}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $\frac{1}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Этап 4.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $42$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Этап 4.2.4.2

Умножим $6$ на $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Этап 4.2.4.3

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

Этап 4.2.4.4

Умножим $7$ на $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

Этап 4.2.6

Добавим $7$ и $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{13}{42}$ из обеих частей уравнения.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

Этап 4.3.3

Объединим $2$ и $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $2$ на $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $13$ из $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

Этап 5

Подставим $\frac{71}{42}$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{71}{42}$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$