Математический анализ Примеры

$d x + (1 - x) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 - x) d y = - d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} (1 - x) d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - x} (1 - x) d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{1 - x}$ и $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.5.2

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \ln (| 1 - x |) + C$