Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 8 x^{7} e^{- x^{8}}$ , $y (0) = 8$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 8 \int x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ в виде ${u_{1}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ в виде ${u_{1}}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{3}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.3.3.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ и $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.3.6

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 2.3.6.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Этап 2.3.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ в виде ${u_{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.3

Объединим $\frac{u_{2}}{2}$ и $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.10

Пусть $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Пусть $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Дифференцируем $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Этап 2.3.10.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $- {u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ равна $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 2.3.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Этап 2.3.10.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Этап 2.3.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Этап 2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Этап 2.3.11.2

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Этап 2.3.12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Этап 2.3.13

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Этап 2.3.14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Этап 2.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 2.3.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 2.3.15.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 2.3.15.3

Умножим $\int e^{u_{3}} d u_{3}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 2.3.16

Интеграл $e^{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $e^{u_{3}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- {u_{2}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{2}}^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.17.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $8$ вместо $y$ в $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ .

$8 = e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$ .

$e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(0^{2})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- {(0^{2})}^{2 \cdot 2}} + K = 8$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{- {(0^{2})}^{4}} + K = 8$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(0^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 0^{2 \cdot 4}} + K = 8$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$e^{- 0^{8}} + K = 8$

Этап 4.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{- 0} + K = 8$

Этап 4.2.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{0} + K = 8$

Этап 4.2.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 + K = 8$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = 8 - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$K = 7$

Этап 5

Подставим $7$ вместо $K$ в $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $7$ вместо $K$ .

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + 7$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2 \cdot 2}} + 7$

Этап 5.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{4}} + 7$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- x^{2 \cdot 4}} + 7$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = e^{- x^{8}} + 7$