Математический анализ Примеры

$2 y (x^{2} + 1) d x + (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 y (x^{2} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$(\frac{x^{3}}{3} + x) d y = - 2 y (x^{2} + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y}$ .

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $\frac{x^{3}}{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $\frac{x^{3}}{3} + x$ из $(\frac{x^{3}}{3} + x) y$ .

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) (y)} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{x^{3}}{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x^{1}) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x \cdot 1) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \frac{x^{2}}{3} + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x (\frac{x^{2}}{3} + 1) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x (\frac{x^{2}}{3} + \frac{3}{3}) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x \frac{x^{2} + 3}{3} y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Объединим $x$ и $\frac{x^{2} + 3}{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3.4.2

Объединим $\frac{x (x^{2} + 3)}{3}$ и $y$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{\frac{x (x^{2} + 3) y}{3}} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{y} d y = - 2 (1 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y}) (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.5

Умножим $\frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ на $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.6

Умножим $- 2 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 \cdot 3}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.6.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $y$ из $x (x^{2} + 3) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{y (x (x^{2} + 3))} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{y (x (x^{2} + 3))} (y (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x^{2} + 1) d x$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} (x^{2} + 1) d x$

Этап 3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6}{x (x^{2} + 3)} x^{2} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Этап 3.10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{x (x^{2} + 3)}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} x^{2} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Этап 3.10.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x \cdot x) - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Этап 3.10.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x \cdot x) - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Этап 3.10.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x^{2} + 3} x - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Этап 3.11

Объединим $\frac{- 6}{x^{2} + 3}$ и $x$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Этап 3.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Этап 3.14

Чтобы записать $- \frac{6 x}{x^{2} + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x}{x^{2} + 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Этап 3.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} + 3) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Умножим $\frac{6 x}{x^{2} + 3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x \cdot x}{(x^{2} + 3) x} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Этап 3.15.2

Изменим порядок множителей в $(x^{2} + 3) x$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x \cdot x}{x (x^{2} + 3)} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Этап 3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6 x \cdot x - 6}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x \cdot x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x \cdot x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x) - 6}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.17.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x) + 6 (- 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.17.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (- x \cdot x) + 6 (- 1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.17.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x \cdot x) - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.17.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x^{2} - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.18

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2}) - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.19

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.20

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.21

Перепишем $- (x^{2} + 1)$ в виде $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- 1 (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 3.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (6 \int \frac{x^{2} + 1}{x (x^{2} + 3)} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{x^{2} + 1}{x (x^{2} + 3)} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = x (x^{2} + 3)$ . Тогда $d u = (3 x^{2} + 3) d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = x (x^{2} + 3)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3)]$

Этап 4.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (2 x + 0) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$x (2 x) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 3) \cdot 1$

Этап 4.3.4.1.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.9.1

Умножим $x^{2} + 3$ на $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 3$

Этап 4.3.4.1.9.2

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{3 u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $x (x^{2} + 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) = C$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x \cdot x^{2} + x \cdot 3 |) = C$

Этап 5.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x \cdot x^{2} + x \cdot 3 |) = C$

Этап 5.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{1 + 2} + x \cdot 3 |) = C$

Этап 5.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + x \cdot 3 |) = C$

Этап 5.2.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + 3 x |) = C$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + 3 x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x^{3} + 3 x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{3} + 3 x |}^{2}) = C$

Этап 5.3.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x^{3} + 3 x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$

Этап 5.3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2})} = e^{C}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}$

Этап 5.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем уравнение в виде $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$

Этап 5.6.2

Разделим каждый член $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ на ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разделим каждый член $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ на ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Этап 5.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Этап 5.6.2.2.1.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Этап 5.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x \cdot x^{2} + 3 x)}^{2}}$

Этап 5.6.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot 3)}^{2}}$

Этап 5.6.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x (x^{2} + 3))}^{2}}$

Этап 5.6.2.3.1.2

Применим правило умножения к $x (x^{2} + 3)$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{C}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{1}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$