Математический анализ Примеры

$y (1 + x y) d x - x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $1 + x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

Этап 1.3.8

Умножим $1 + x y$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

Этап 1.4

Добавим $y x$ и $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

Этап 1.4.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x y + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = - 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x y + 1 = - 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $2 x y + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y (1 + x y)$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y (1 + x y)$ вместо $M$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - (2 x y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Изменим порядок $- 1$ и $- (2 x y + 1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x y + 1$ и $1 + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.4

Подставим $y (1 + x y)$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $y (1 + x y) d x - x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y (1 + x y)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x - x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $1 + x y$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $- x$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.5

Объединим $\frac{1}{y^{2}}$ и $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Этап 8.2

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 8.4

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 8.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 8.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

Этап 8.6

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

Этап 8.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Перепишем $- x (- y^{- 1} + C)$ в виде $- x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

Этап 8.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

Этап 8.7.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

Этап 8.7.2.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $\frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{y}$ по $x$ равна $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 11.3.3

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{1 + x y}{y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{1 + x y}{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{1 + x y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (1 + x y)}{y} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 \cdot 1 - (x y)}{y} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 - x y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.5

Вычтем $x y$ из $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.6.2

Разделим $- x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x$

Этап 13

Найдем первообразную $x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Этап 13.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + C$