Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - b^{2} x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{3} - b^{2} x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{3} - b^{2} x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{3} - b^{2} x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - b^{2} x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - b^{2} x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- b^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- b^{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - b^{2} \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - b^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - b^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $b^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{b^{2}}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{b^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{x^{2} b^{2}}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Избавимся от скобок.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} b^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} b^{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} b^{2} x^{2} + K$