Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Этап 1

Пусть $v = e^{x - y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{x - y}$ для всех.

$\frac{d y}{d x} = x v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{x - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Этап 5

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ умножим на $- v$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ на $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Этап 5.2.1.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Этап 5.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Этап 5.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- v$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Этап 5.3.2

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перенесем $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Этап 5.3.2.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Этап 6

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $v$ .

$y = v^{- 1}$

Этап 8

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 9

Возьмем производную $v^{- 1}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем производную от $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 9.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 9.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Умножим $v$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 10

Подставим $- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо $\frac{d v}{d x}$ и $v^{- 1}$ вместо $v$ в исходное уравнение $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 11

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ умножим на $- v^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ на $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.1

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $v^{2}$ из $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.5

Умножим $v^{- 1}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.5.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.5.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.6

Упростим $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.2.1.8

Умножим $v$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Этап 11.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Этап 11.1.3.2

Умножим $v^{- 2}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.2.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Этап 11.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Этап 11.1.3.2.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Этап 11.1.3.3

Упростим $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Этап 11.1.3.4

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Этап 11.1.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Этап 11.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 11.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 11.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 11.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Этап 11.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Этап 11.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Этап 11.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Этап 11.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Этап 11.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Этап 11.7.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Этап 11.7.3

Упростим.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Этап 11.8

Разделим каждый член $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Разделим каждый член $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 11.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 11.8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 11.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 11.8.3.1.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 11.8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 11.8.3.1.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 12

Подставим $v^{- 1}$ вместо $v$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 13

Заменим все вхождения $v$ на $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 14

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Этап 14.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Развернем $\ln (e^{- x + y})$ , вынося $- x + y$ из логарифма.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Этап 14.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Этап 14.2.3

Умножим $- x + y$ на $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Этап 14.3

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$