Математический анализ Примеры

$x d y = (x^{5} + 3 y) d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(x^{5} + 3 y) d x$ из обеих частей уравнения.

$x d y - (x^{5} + 3 y) d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (x^{5} + 3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{5} + 3 y)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (x^{5} + 3 y)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{5} + 3 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y])$

Этап 2.4

Поскольку $x^{5}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{5}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [3 y])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [3 y]$

Этап 2.6

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \cdot 1$

Этап 2.9

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 3 = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 - 1}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x$ вместо $N$ .

$\frac{- 3 - 1}{x}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$\frac{- 4}{x}$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Этап 6.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- (x^{5} + 3 y)$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- (x^{5} + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{5} - (3 y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(- x^{5} - 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $- x^{5} - 3 y$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{5} - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{5}$ .

$\frac{- (x^{5}) - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$\frac{- (x^{5}) - (3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{5}) - (3 y)$ .

$\frac{- (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.8

Перепишем $- (x^{5} + 3 y)$ в виде $- 1 (x^{5} + 3 y)$ .

$\frac{- 1 (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Этап 7.10

Умножим $x$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 7.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 7.11.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 7.11.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{3}} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{1}{x^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} y + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}} + g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{y}{x^{3}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y}{x^{3}}$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.5.2.3

Объединим $y$ и $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.5.2.4

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$- \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Добавим $\frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y + x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Объединим противоположные члены в $- 3 y + x^{5} + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Добавим $- 3 y$ и $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5} + 0}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Этап 13.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Этап 13.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{1} = 0$

Этап 13.1.1.4.2.4

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = - x$

Этап 14

Найдем первообразную $- x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x d x$

Этап 14.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 14.5

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 16

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{2} + C$