Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d x} = \frac{4 x + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x + x f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (f^{2})}{f - x^{2} f}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 + x (f^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Этап 1.1.4

Умножим $x$ на $4 + f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $f$ из $f - x^{2} f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $f$ в степень $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f^{1} - x^{2} f}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $f$ из $f^{1}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 - x^{2} f}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $f$ из $- x^{2} f$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 + f (- x^{2})}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем множитель $f$ из $f \cdot 1 + f (- x^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot (1 - x^{2})}$

Этап 1.2.1.5

Умножим $f$ на $1 - x^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 - x^{2})}$

Этап 1.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1^{2} - x^{2})}$

Этап 1.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Этап 1.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{f}{4 + f^{2}}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ на $\frac{4 + f^{2}}{f}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x) f}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $f$ из $(1 + x) (1 - x) f$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $4 + f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $4 + f^{2}$ из $x (4 + f^{2})$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{f}{4 + f^{2}} d f = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{f}{4 + f^{2}} d f = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 f d f$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = f d f$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d f}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $4 + f^{2}$ .

$\frac{d}{d f} [4 + f^{2}]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $4 + f^{2}$ по $f$ имеет вид $\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$ .

$\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $4$ является константой относительно $f$ , производная $4$ относительно $f$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d f} [f^{n}]$ имеет вид $n f^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 f$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 f$ .

$2 f$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 + f^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.6.3

Перепишем $- 1 (1 + x)$ в виде $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.7

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.1.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.1.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.11

Умножим $1 - x$ на $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Этап 2.3.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Этап 2.3.1.1.4.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- x + 0 - x$

Этап 2.3.1.1.4.2.3

Добавим $- x$ и $0$ .

$- x - x$

Этап 2.3.1.1.4.2.4

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- 2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 4 + f^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим $\ln (| 1 - x^{2} |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 4 + f^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

Этап 3.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + f^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

Этап 3.5

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (4 + f^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Этап 3.6

Развернем $(4 + f^{2}) (1 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Этап 3.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Этап 3.7.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Этап 3.7.3

Умножим $f^{2}$ на $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Этап 3.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$

Этап 3.8

Чтобы решить относительно $f$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Этап 3.9

Перепишем $\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |$

Этап 3.10

Решим относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем уравнение в виде $| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Этап 3.10.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Этап 3.10.3

Перенесем все члены без $f$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

Этап 3.10.3.2

Добавим $4 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Этап 3.10.4

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{2} - f^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Умножим на $1$ .

$f^{2} \cdot 1 - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Этап 3.10.4.2

Вынесем множитель $f^{2}$ из $- f^{2} x^{2}$ .

$f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Этап 3.10.4.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2})$ .

$f^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Этап 3.10.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Этап 3.10.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.1

$f^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Этап 3.10.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Этап 3.10.7

Разделим каждый член $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ на $(1 + x) (1 - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.1

Разделим каждый член $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ на $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.7.2.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.7.2.2.2

Разделим $f^{2}$ на $1$ .

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.8

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3.10.9

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3.10.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3.10.9.3

Перепишем $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ в виде $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3.10.9.4

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3.10.9.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.9.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3.10.9.5.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3.10.9.5.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Этап 3.10.9.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Этап 3.10.9.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Этап 3.10.9.5.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.9.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.10.9.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.10.9.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.10.9.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.9.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.10.9.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Этап 3.10.9.5.6.5

Упростим.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.9.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$f = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$